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前言：本文将介绍随机选择，分治法，减治法的思想，以及 TopK 问题优化的来龙去脉，原理与细节，保证有收获。
面试中，TopK，是问得比较多的几个问题之一，到底有几种方法，这些方案里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。
画外音： 除非校招，我在面试过程中从不问 TopK 这个问题，默认大家都知道。
问题描述：
从 arr[1, n] 这 n 个数中，找出最大的 k 个数，这就是经典的 TopK 问题。
栗子：
从 arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 这 n=12 个数中，找出最大的 k=5 个。
一、排序
排序是最容易想到的方法，将 n 个数排序之后，取出最大的 k 个，即为所得。
伪代码：
sort(arr, 1, n);
return arr[1, k];
时间复杂度：O(n*lg(n))
分析：明明只需要 TopK，却将全局都排序了，这也是这个方法复杂度非常高的原因。那能不能不全局排序，而只局部排序呢？ 这就引出了第二个优化方法。
二、局部排序
不再全局排序，只对最大的 k 个排序。
冒泡是一个很常见的排序方法，每冒一个泡，找出最大值，冒 k 个泡，就得到 TopK。
伪代码：
for(i=1 to k){
bubble_find_max(arr,i);
}
return arr[1, k];
时间复杂度：O(n*k)
分析：冒泡，将全局排序优化为了局部排序，非 TopK 的元素是不需要排序的，节省了计算资源。不少朋友会想到，需求是 TopK，是不是这最大的 k 个元素也不需要排序呢？ 这就引出了第三个优化方法。
三、堆
思路：只找到 TopK，不排序 TopK。
先用前 k 个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前最大的 k 个元素。
接着，从第 k+1 个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆，以保证堆内的 k 个元素，总是当前最大的 k 个元素。
直到，扫描完所有 n-k 个元素，最终堆中的 k 个元素，就是猥琐求的 TopK。
伪代码：
heap[k] = make_heap(arr[1, k]);
for(i=k+1 to n){
adjust_heap(heep[k],arr[i]);
}
return heap[k];
时间复杂度：O(n*lg(k))
画外音：n 个元素扫一遍，假设运气很差，每次都入堆调整，调整时间复杂度为堆的高度，即 lg(k)，故整体时间复杂度是 n*lg(k)。
分析：堆，将冒泡的 TopK 排序优化为了 TopK 不排序，节省了计算资源。堆，是求 TopK 的经典算法，那还有没有更快的方案呢？
四、随机选择
随机选择算在是《算法导论》中一个经典的算法，其时间复杂度为 O(n)，是一个线性复杂度的方法。
这个方法并不是所有同学都知道，为了将算法讲透，先聊一些前序知识，一个所有程序员都应该烂熟于胸的经典算法：快速排序。
画外音：
（1）如果有朋友说，“不知道快速排序，也不妨碍我写业务代码呀”… 额…
（2）除非校招，我在面试过程中从不问快速排序，默认所有工程师都知道；
其伪代码是：
void quick_sort(int[]arr, int low, inthigh){
if(low== high) return;
int i = partition(arr, low, high);
quick_sort(arr, low, i-1);
quick_sort(arr, i+1, high);
}
其核心算法思想是，分治法。
分治法（Divide&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题 （Divide），每个子问题 “都” 解决，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是 “都”。从伪代码里可以看到，快速排序递归时，先通过 partition 把数组分隔为两个部分，两个部分 “都” 要再次递归。
分治法有一个特例，叫减治法。
减治法（Reduce&Conquer），把一个大的问题，转化为若干个子问题 （Reduce），这些子问题中 “只” 解决一个，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是 “只”。
二分查找 binary_search，BS，是一个典型的运用 减治法思想的算法，其伪代码是：
int BS(int[]arr, int low, inthigh, int target){
if(low> high) return -1;
mid= (low+high)/2;
if(arr[mid]== target) return mid;
if(arr[mid]> target)
return BS (arr, low, mid-1, target);
else
return BS (arr, mid+1, high, target);
}
从伪代码可以看到，二分查找，一个大的问题，可以用一个 mid 元素，分成左半区，右半区两个子问题。而左右两个子问题，只需要解决其中一个，递归一次，就能够解决二分查找全局的问题。
通过分治法与减治法的描述，可以发现，分治法的复杂度一般来说是大于减治法的：
快速排序：O(n*lg(n))
二分查找：O(lg(n))
话题收回来，快速排序的核心是：
i = partition(arr, low, high);
这个 partition 是干嘛的呢？
顾名思义，partition 会把整体分为两个部分。
更具体的，会用数组 arr 中的一个元素（默认是第一个元素 t=arr[low]）为划分依据，将数据 arr[low, high] 划分成左右两个子数组：
左半部分，都比 t 大
右半部分，都比 t 小
中间位置 i 是划分元素
以上述 TopK 的数组为例，先用第一个元素 t=arr[low] 为划分依据，扫描一遍数组，把数组分成了两个半区：
左半区比 t 大
右半区比 t 小
中间是 t
partition 返回的是 t 最终的位置 i。
很容易知道，partition 的时间复杂度是 O(n)。
画外音：把整个数组扫一遍，比 t 大的放左边，比 t 小的放右边，最后 t 放在中间 N[i]。
partition 和 TopK 问题有什么关系呢？
TopK 是希望求出 arr[1,n] 中最大的 k 个数，那如果找到了第 k 大 的数，做一次 partition，不就一次性找到最大的 k 个数了么？
画外音：即 partition 后左半区的 k 个数。
问题变成了 arr[1, n] 中找到第 k 大的数。
再回过头来看看第一次 partition，划分之后：
i = partition(arr, 1, n);
如果 i 大于 k，则说明 arr[i] 左边的元素都大于 k，于是只递归 arr[1, i-1] 里第 k 大的元素即可；
如果 i 小于 k，则说明说明第 k 大的元素在 arr[i] 的右边，于是只递归 arr[i+1, n] 里第 k-i 大的元素即可；
画外音：这一段非常重要，多读几遍。
这就是随机选择算法 randomized_select，RS，其伪代码如下：
int RS(arr, low, high, k){
if(low== high) return arr[low];
i= partition(arr, low, high);
temp= i-low; // 数组前半部分元素个数
if(temp>=k)
return RS(arr, low, i-1, k); // 求前半部分第 k 大
else
return RS(arr, i+1, high, k-i); // 求后半部分第 k-i 大
}
这是一个典型的减治算法，递归内的两个分支，最终只会执行一个，它的时间复杂度是 O(n)。
再次强调一下：
分治法，大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序
减治法，大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择
通过随机选择（randomized_select），找到 arr[1, n] 中第 k 大的数，再进行一次 partition，就能得到 TopK 的结果。
五、总结
TopK，不难；其思路优化过程，不简单：
全局排序，O(n*lg(n))
局部排序，只排序 TopK 个数，O(n*k)
堆，TopK 个数也不排序了，O(n*lg(k))
分治法，每个分支 “都要” 递归，例如：快速排序，O(n*lg(n))
减治法，“只要” 递归一个分支，例如：二分查找 O(lg(n))，随机选择 O(n)
TopK 的另一个解法：随机选择 +partition
知其然，知其所以然。
思路比结论重要。
希望大家对 TopK 有新的认识，谢转。
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挖坑：TopK，你以为这就是最快的解法？太小看架构师之路了，更快方案 ，且听下一期分解。
